流体のせん断力と圧力損失

配管流れの圧力損失を計算する式にファニングの式がある．

$\displaystyle{\Delta P = 4 f \frac{L}{D} \frac{1}{2}\rho v^2}$

ファニングの式中の摩擦係数 f の意味を考える．

ファニングの式は配管内流体のせん断力と圧力損失の関係から求められる．

流体は粘性の影響により，以下の図のように壁面に対して速度分布をもつ．

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このとき，流体は壁面に対して流れ方向に力を加えている．

例えば，粘っこい流体を配管に流しており，その配管を手だけで支えている状況をイメージしてほしい．手は流れ方向に引っ張られることが感覚的に分かると思う．

実際には，配管などは手で支えられることなく，サポートで固定されている．

よって，作用反作用の法則により，同じ大きさの力が反対向きに壁面から流体にかかる．この力が流体にかかるせん断応力 $\tau$ であり，以下の式で表される．

$\displaystyle{\tau = \mu \frac{du}{dy}}$

ファニングの式の摩擦係数 f はせん断応力 $\tau$ と流体の運動エネルギー $\frac{1}{2}\rho v^2$ の比を示したものである．

$\displaystyle{f = \frac{\tau}{\frac{1}{2}\rho v^2}}$

上式からファニングの式が導ける．

直径D，長さLの配管にかかる力のつり合いを考える．

圧力損失 $\Delta P = P1 - P2$ (P1 > P2)を考えると，流体にかかる力 F1は以下で表される．
\begin{align}
F1 &= P1 \frac{D^2 \pi}{4} - P2 \frac{D^2 \pi}{4}\\
& = (P1 - P2)\frac{D^2 \pi}{4} \\
& = \Delta P \frac{D^2 \pi}{4}
\end{align}